Calcul inversé des taxes du Québec

Billet mis à jour pour 2011

Un client effectue des ventes en ligne sur son site web. Comme le paiement se fait à l'aide de PayPal, il préfère calculer d'avance les taxes applicables et vendre ses produits "taxes incluses". À des fins de rapports, il voulait que, suite à une transaction, je calcule la portion de TPS et TVQ qui correspondait au prix vendu.

Comment faire pour faire l'opération inverse dans le calcul des taxes ? La difficulté est qu'au Québec, on taxe d'abord le sous-total pour ajouter la TPS (Taxes sur les Produits et Services de 5%). On taxe ensuite la somme du sous-total et de la TPS pour y ajouter la TVQ (Taxe de Vente du Québec qui est passée de 7,5% à 8,5%). Donc la TPS est taxable ! Risible.

Si on connaît le taux de taxation combiné (qui était de 12,875% en 2010 et maintenant de 13,925%, depuis le 1er janvier 2011), on peut diviser le total par ce taux pour déduisant le montant initial avant taxes. Une fois en possession de ce chiffre, il suffit de refaire le calcul normalement pour déterminer le montant de chaque taxe individuelle.

On sait qu'on peut calculer l'ajout des taxes facilement :

DEFINE('TPS', 0.05);
DEFINE('TVQ', 0.085);

function addTaxes($amount){
   $tps = $amount * TPS;
   $tvq = ($amount + $tps) * TVQ;
   return $amount + $tps + $tvq;
}

Mais comment déterminer le montant initial ?

$tps = $amount * TPS;
$tvq = ($amount + $tps) * TVQ;

La valeur des taxes est donc :

$taxes = $tps + ($tps * TVQ);
// ou
$taxes = ($amount * TPS) + (($amount * TPS) * TVQ);

Le total incluant les taxes :

$total = $amount + (($amount * TPS) + (($amount + ($amount * TPS)) * TVQ));

Et le ratio montant avec taxes divisé par montant sans taxe :

$ratio = ($amount + ($amount + (($amount * TPS) + (($amount + ($amount * TPS)) * TVQ))) / $amount) - $amount;

Ce qui nous donne 1.13925.

En divisant le total par le taux de taxation, on obtient le montant initial qui ne comprend ni la TPS ni la TVQ.

Réduit à sa plus simple expression, on obtient la règle :

$ratio = 1 + ((1 * TPS) + ((1 + (1 * TPS)) * TVQ));

Reprenons cette formule pour faire le calcul inversé

function revertTaxes($amount){
   $ratio = 1 + ((1 * TPS) + ((1 + (1 * TPS)) * TVQ));

   $amount_without_taxes = $amount / $ratio;

   $tps = $amount_without_taxes * TPS;
   $tvq = ($amount_without_taxes + $tps) * TVQ;

   // arrondir à 2 décimales au besoin
   return array($amount_without_taxes, $tps, $tvq);
}

list($initial_price, $tps_value, $tvq_value) = revertTaxes(24.81);

echo "Prix initial: $initial_price \n";
echo "TPS: $tps_value \n";
echo "TVQ: $tvq_value \n";

Pour vérifier si le calcul se fait correctement, je vais vérifier les chiffres sur une facture réelle. Sur le coin de mon bureau, j'en ai une pour le clavier que j'ai acheté hier au magasin de liquidation Electro-Tel (Jean-Talon) : Logitech Wave (14,99$ seulement, comparativement à 49,95$ chez Best Buy). J'ai aussi acheté 2 bouteilles d'air comprimées (6,99$) pour un total de 24,81$.

Sous-total : 21,98 $
TPS : 1,10 $ (5%)
TVQ : 1,73 $ (7,5%)
Total : 24,81 $

Sur la facture :

• Sous-total : 99,99 $
• TPS : 5 $ (5%)
• TVQ : 8,92 $ (8.5%)
• Total : 113,91 $
  

Ma fonction qui inverse le montant des taxes à partir du prix final indique les valeurs suivantes :

Prix original: 99.986833443055
TPS: 4.9993416721527
TVQ: 8.9238248847926

Assez précis.