Soustraction sans emprunt par le complément de 9

Tout comme en informatique, un problème mathématique est souvent plus simple à solutionner lorsqu'on le fragmente en étapes plus simples. Dans une soustraction, nous avons tous appris à la petite école qu'on pouvait placer les nombres un par dessus l'autre et effectuer la soustraction des chiffres par colonnes en commençant par le nombre situé à droite :

 29
-12
---
 17

Dans une colonne, si le chiffre supérieur est moins élevé que celui à soustraire, on utilise la méthode de l'emprunt au chiffre immédiatement placé à sa gauche pour lui ajouter une dizaine.

 32
-19
---
 13

Où on obtient 12 (une dizaine empruntée au 3) - 9 = 3 suivi de 2 (3 - l'emprunt de 1) - 1 = 1 pour un résultat final de 13.

Mais comment peut-on effectuer une soustraction sans utiliser la méthode de l'emprunt ?
La réponse : à l'aide des compléments de 9.

Dans l'équation 522 - 149, nous ferons appel à un complément de 999 car ce sont des nombres à 3 chiffres. Autrement, un nombre de 4 chiffres aurait nécessité 9999, etc.

Étape 1 : soustraire le complément par le 2ème nombre (remarquez, aucun emprunt n'est nécessaire)

 999
-149
----
 850

Étape 2 : additionner le 1er nombre de l'équation au résultat

 522
+850
----
1372

Étape 3 : ajouter 1 et soustraire 1000

 1372
+   1
-1000
-----
  373

Pourquoi ça fonctionne ?

L'équation 522 - 149 + 1000 - 1000 est équivalente à 522 - 149 + 999 + 1 - 1000. Les nombres peuvent être regroupés ainsi 522 + (999 - 149) + 1 - 1000, ce qui nous donne le bon résultat.